simulasi dinamika molekular bagian 2

Dalam tulisan ini kita masih membahas dasar-dasar simulasi DM yaitu tentang beberapa konsep yang penting seperti PBC (Periodic Boundary Condition), MIC (Minimum Image Convention) dan konsep kunci simulasi DM yaitu ensemble. Ketiga hal ini penting untuk diketahui. Pertanyaan sederhana yang dulu pernah dilontarkan Pak Dosen ke kami adalah jika kita men-simulasi ion dalam air, padahal garam itu ada kation dan anion sementara yang kita simulasi hanya kation lalu ke manakah anion?

PBC merupakan salah satu konsep kunci dalam simulasi, sebuah cara agar simulasi menggunakan ratusan atom dapat bersifat tak terbatas sehingga mendekati sifat nyata.
Dalam tulisan ini kita masih membahas dasar-dasar simulasi DM yaitu tentang beberapa konsep yang penting seperti PBC (Periodic Boundary Condition), MIC (Minimum Image Convention) dan konsep kunci simulasi DM yaitu ensemble. Ketiga hal ini penting untuk diketahui. Pertanyaan sederhana yang dulu pernah dilontarkan Pak Dosen ke kami adalah jika kita men-simulasi ion dalam air, padahal garam itu ada kation dan anion sementara yang kita simulasi hanya kation lalu ke manakah anion?

PBC merupakan salah satu konsep kunci dalam simulasi, sebuah cara agar simulasi menggunakan ratusan atom dapat bersifat tak terbatas sehingga mendekati sifat nyata.
pbcgambar 1. PBC
kotak di tengah-tengah dalam gambar 1 merupakan kotak simulasi kita sementara kotak-kotak lain merupakan duplikat dari kotak simulasi, begitu juga dengan partikel dan kecepatan kotak-kotak lain, juga merupakan duplikat dari kotak simulasi kita. Arah panah menggambarkan bahwa partikel mengisi semua ruang kotak. So? Jika ada atom meninggalkan kotak simulasi maka atom lain akan masuk dari arah berlawanan untuk menggantikan atom yang pergi tadi. Oleh karena itu, jumlah atom dalam kotak simulasi dapat dipertahankan. Lebih jauh lagi, tidak ada atom yang mengalami gaya antar muka akibat adanya atom yang hilang atau pindah.

MIC merupakan salah satu cara untuk mereduksi waktu komputasi yang diakibatkan oleh perhitungan interaksi non-bonded antar atom dalam simulasi. Selain dengan MIC, cara lain yang bisa digunakan adalah dengan menggunakan non-bonded cutoff. Dalam MIC energi hanya dihitung selama masih dalam batas jarak cutoff, di luar cutoff maka energi akan dianggap 0. Dalam PBC, jarak cutoff tidak boleh dari setengah ukuran kotak simulasi dan dalam prakteknya, kebanyakan interaksi jarak dekat biasanya tidak stabil dan dapat diabaikan di luar cutoff.
micgambar 2. MIC
Nah, yang terakhir tapi sering terlupa adalah ensemble. bahasan mendalam tentang ensemble dapat ditemukan di buku mekanika statistik. Ide dasarnya adalah bagaimana cara menghubungkan keadaan microstate dengan macrostate sehingga gambaran dari simulasi tadi bisa merepresentasikan keadaan sistem yang sebenarnya.

Dinamika molekular menghitung dinamika nyata dari sebuah sistem yang mana sifat-sifat sistem tersebut dalam retata waktu tertentu dapat dihitung. Nilai dari sifat, A, dari sebuah sistem tergantung pada posisi dan momentum dari N partikel yang menyusun sistem. Harga A seketika itu juga dapat ditulis sebagai  A(p^N (t), r^N (t), di mana p^N (t) dan r^N (t) menggambarkan momentum dan posisi N pada waktu t. Dengan demikian, harga dari A akan berubah-ubah seiring dengan waktu simulasi karena interaksi antar partikel. Secara eksperimen, nilai terukur adalah rata-rata A sepanjang waktu perhitungan sehingga dikenal dengan time average (rerata waktu). Jika waktu pengukuran dibuat menjadi tidak terbatas, maka diperlukan pendekatan untuk mendapatkan “true” rata-rata dari nilai A dapat ditulis sebagai berikut :

time average

persamaan 1. rerata waktu
Untuk menghitung rerata nilai dari sifat-sifat dari sistem, sehingga simulasi perilaku kedinamisan dari sistem diperlukan. Untuk setiap penataan atom dalam sistem, gaya antar atom yang disebabkan oleh interaksi dengan atom lain dapat dihitung dengan diferential fungsi energi. Dari gaya masing-masing atom ini dapat ditentukan percepatan melalui hukum ke-2 Newton. Integrasi dari persamaan gerak akan menghasilkan trajektori yang berisi posisi, kecepatan dan percepatan dari partikel dalam setiap waktu dan dari rata-rata dari sifat dapat ditentukan melalui persamaan 1. Jumlah besar dari atom atau molekul dalam keadaan makroskopik membuat tidak memungkinkan untuk menentukan konfigurasi awal dari sistem. Berdasarkan mekanika statistik yang dilakukan Boltzmann dan Gibbs, sebuah sistem tunggal yang berubah seiring dengan waktu dapat digantikan oleh sejumlah besar replika sistem yang diangggap bergerak secara simultan. Rerata waktu dapat digantikan oleh rerata ensemble.
rerata ensemble

persamaan 2. rerata ensemble
Rerata ensemble atau harga ekpektasi ditunjukkan oleh angle brackets, adalah rerata sifat A dari semua replikasi dari ensemble yang dihasilkan oleh simulasi. Integral double dalam persamaan di atas menunjukkan tanda integral 6N untuk 6N posisi dan momentum dari semua partikel. Kebolehjadian kerapatan dari ensemble, ρ(pN , rN ) adalah kebolehjadian untuk menemukan konfigurasi dengan momenta P^N(t) dan posisi r^N(t). Sesuai dengan hipotesis ergodik, rerata ensemble sama dengan rerata waktu.  Dalam kondisi jumlah partikel, volume dan suhu yang tetap, kebolehjadian kerapatan adalah distribusi Boltzmann :

 

boltzmannpersamaan 3. distribusi boltzmann
Di mana E(p^N, r^N) adalah energi, Q adalah fungsi partisi, k_B adalah konstanta Boltzmann dan T adalah suhu. Fungsi partisi untuk canonical ensemble (ensemble dengan N, V dan T tetap) dengan partikel identik N dapat dijabarkan dalam persamaan Hamiltonian H,
nvtpersamaan 4. canonical ensemble
Hamiltonian, H, dapat digambarkan sebagai energi total  E(p^N , r^N ), yang merupakan penjumlahan dari energi kinetik K(p^N) dan potensial V(r^N )dari sistem. Faktor N! muncul dari partikel-partikel yang tidak dapat dibedakan dan faktor 1/h^(3N) diperlukan untuk memastikan fungsi partisi sama dengan perhitungan mekanika kuantum.

Selain canonical ensemble, masih ada ensemble lain yaitu microcanonical dan grandcanonical. Pembahasan tentang keduanya bisa teman-teman temukan di buku mekanika statistik.

(bersambung)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s